半長軸
橢圓的半長軸。
半長軸是幾何學中的名詞，用來描述橢圓和雙曲線的維度。与之对应的就是長軸，半長軸为長軸的一半，一般描述橢圓的最長的直徑。
目录
1 橢圓
2 雙曲線（又称半实轴）
3 天文學
3.1 軌道週期
3.2 平均距離
3.3 能量：由狀態向量的半長軸計算
4 例子
5 外部連結
6 參考資料
橢圓
一個橢圓的長軸是內部最長的直徑，他會通過中心和兩個焦點，末端結束於型狀最寬處的點。半長軸是長軸的一半，始於中心點經過一個焦點並終結於橢圓的邊界。在圓型的特殊狀況下，半長軸就是半徑。
半長軸的長度adisplaystyle a!
- b=a1−e2displaystyle b=asqrt 1-e^2,!
ℓ=a(1−e2)displaystyle ell =a(1-e^2),!.
aℓ=b2displaystyle aell =b^2,!.
抛物線可以被視為是橢圓的極限，將一個焦點固定，而另一個焦點被隨意的移至無窮遠處的方向上，但ℓdisplaystyle ell ,!
半長軸是橢圓的一個焦點至邊界的最大距離和最小距離的平均值。現在考慮在極座標中的方程式，其中一個焦點位於原點，另一個焦點在x軸上，
r(1−ecosθ)=ldisplaystyle r(1-ecos theta )=l,!.
均值由r=ℓ1+edisplaystyle r=ell over 1+e,!
雙曲線（又称半实轴）
雙曲線的半長軸是兩個分支之間距離的一半。如果a是在X-軸的方向上，則方程式可以表示為：
(x−h)2a2−(y−k)2b2=1displaystyle frac left(x-hright)^2a^2-frac left(y-kright)^2b^2=1
在這個項目中的半正焦弦和離心率如下：
a=ℓe2−1displaystyle a=ell over e^2-1
雙曲線的橫軸延伸方向與半長軸的方向一致[1]。
天文學
軌道週期
在太空動力學，以圓或橢圓軌道環繞中心天體運轉的小天體的軌道週期Tdisplaystyle T
- T=2πa3/μdisplaystyle T=2pi sqrt a^3/mu
此處：
adisplaystyle a，是軌道的半長軸
μdisplaystyle mu是標準重力參數
無論離心率是如何，半長軸相同的橢圓都有相同的軌道週期。
在天文學，是軌道的軌道元素中最重要的，他決定了軌道週期。對太陽系內的天體，半長軸與軌道週期的關係由克卜勒第三定律（原本只是經驗公式）來描述：
T2=a3displaystyle T^2=a^3，
此處T是週期，單位為年；a是半長軸，單位為AU。這個形式就是牛頓的二體問題簡化後的形式：
T2=4π2G(M+m)a3displaystyle T^2=frac 4pi ^2G(M+m)a^3，
此處G是重力常數，M是中心天體的質量，而m是軌道上天體的質量。通常，當中心天體的值量遠大於環繞的天體時，m的質量可以忽略不計。座著這樣的假設和簡化之後，克卜勒發現的以天文單位簡化的形式就出現了。
值得注意的是，在軌道上的天體和主要的天體環繞著質心運動的路徑都是橢圓形。在天文學上的半長徑總是主、伴兩星之間的距離，因此行星的軌道參數都是以太陽為中心的項目。在"主體為中心"和"絕對"軌道之間的差別通過對地月系統的認是說明可以有更清楚的認識。質量的比是81.30059，地心的月球軌道半長軸是384,400公里；另一方面，"質心"的月球軌道半長軸是379,700公里，兩著的差別是4,700公里。月球相對於質心的平均軌道速度是1.010公里/秒，地球是0.012公里/秒，兩者之和是1.022公里/秒；同樣的，以地心的半長軸得到的月球軌道速度也是1.022公里/秒。
平均距離
經常會說半長軸是主伴兩天體的平均距離，其實這樣說是不夠精確的，這與如何取得平均值有關。
- 對偏近點角（q.v.）的平均距離的確就是半長軸。
- 對真近點角（從焦點上測量的真實軌道角度）的結果，說也奇怪，是軌道半短軸：b=a1−e2displaystyle b=asqrt 1-e^2,!
。
- 最後，是對平近點角（以角度表示，經過近心點之後所經歷軌道週期的分數），是對時間的平均數（通常是對門外漢所謂的"平均"）：a(1+e22)displaystyle a(1+frac e^22),!
。
橢圓的平均半徑，是以幾何上的中心來測量的，其值為ab=a1−e24displaystyle sqrt ab=asqrt[4]1-e^2,!![sqrt ab=asqrt[ 4]1-e^2,!](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df8422407fb9ef4ae3d83a5cd00868381084b5d5)
時間的平均值與半徑成反比，r−1displaystyle r^-1,!
能量：由狀態向量的半長軸計算
在太空動力學半長軸adisplaystyle a
a=−μ2ϵdisplaystyle a=-mu over 2epsilon 
和
a=μ2ϵdisplaystyle a=mu over 2epsilon 
和
ϵ=v22−μ|r|displaystyle epsilon =v^2 over 2-mu over left
和
μ=GMdisplaystyle mu =GM
此處：
vdisplaystyle v，是從速度向量得到的軌道上物體的軌道速度，
rdisplaystyle mathbf r，是在迪卡兒的參考座標系上相對於位置向量用於計算的軌道元素（即，對環繞地球的物體是以地球中心和赤道為基準，或對環繞太陽的天體是以太陽中心和黃道為基準)，
Gdisplaystyle G，是重力常數，
Mdisplaystyle M，是中心天體的質量。
要注意的是，對特定的中心天體和總比能，無論離心率是多少，半長軸是一個定值。換言之，對特定的一個中心天體和半長軸，則具有的總比能是一定的。
例子
國際太空站（ International Space Station，ISS）的軌道週期是91.74分，它的軌道半長軸是6,738公里[1] 。Every minute more corresponds to ca. 50 km more: the extra 300 km of orbit length takes 40 seconds, the lower speed accounts for an additional 20 seconds.
外部連結
Semi-major and semi-minor axes of an ellipse With interactive animation
參考資料
^ 7.1 Alternative Characterization
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