半長軸











橢圓的半長軸。


半長軸是幾何學中的名詞,用來描述橢圓和雙曲線的維度。与之对应的就是長軸,半長軸为長軸的一半,一般描述橢圓的最長的直徑。




目录





  • 1 橢圓


  • 2 雙曲線(又称半实轴)


  • 3 天文學

    • 3.1 軌道週期


    • 3.2 平均距離


    • 3.3 能量:由狀態向量的半長軸計算



  • 4 例子


  • 5 外部連結


  • 6 參考資料




橢圓


一個橢圓的長軸是內部最長的直徑,他會通過中心和兩個焦點,末端結束於型狀最寬處的點。半長軸是長軸的一半,始於中心點經過一個焦點並終結於橢圓的邊界。在圓型的特殊狀況下,半長軸就是半徑。


半長軸的長度adisplaystyle a!a!與半短軸bdisplaystyle b,!b,!的關係可以經由離心率edisplaystyle e,!e,!和半正焦弦ℓdisplaystyle ell ,!ell,!推導如下:


b=a1−e2displaystyle b=asqrt 1-e^2,!b=asqrt 1-e^2,!


ℓ=a(1−e2)displaystyle ell =a(1-e^2),!ell =a(1-e^2),!.


aℓ=b2displaystyle aell =b^2,!aell =b^2,!.

抛物線可以被視為是橢圓的極限,將一個焦點固定,而另一個焦點被隨意的移至無窮遠處的方向上,但ℓdisplaystyle ell ,!ell,!仍保持不變。因此adisplaystyle a,!a,!bdisplaystyle b,!b,!趨於無限大,adisplaystyle a,!a,!仍比bdisplaystyle b,!b,!長。


半長軸是橢圓的一個焦點至邊界的最大距離和最小距離的平均值。現在考慮在極座標中的方程式,其中一個焦點位於原點,另一個焦點在x軸上,



r(1−ecos⁡θ)=ldisplaystyle r(1-ecos theta )=l,!r(1-ecos theta )=l,!.

均值由r=ℓ1+edisplaystyle r=ell over 1+e,!r=ell over 1+e,!r=ℓ1−edisplaystyle r=ell over 1-e,!r=ell over 1-e,!,是 a=ℓ1−e2displaystyle a=ell over 1-e^2,!a=ell over 1-e^2,!.



雙曲線(又称半实轴)


雙曲線的半長軸是兩個分支之間距離的一半。如果a是在X-軸的方向上,則方程式可以表示為:


(x−h)2a2−(y−k)2b2=1displaystyle frac left(x-hright)^2a^2-frac left(y-kright)^2b^2=1fracleft( x-h right)^2a^2 - fracleft( y-k right)^2b^2 = 1


在這個項目中的半正焦弦和離心率如下:


a=ℓe2−1displaystyle a=ell over e^2-1a=ell over e^2-1


雙曲線的橫軸延伸方向與半長軸的方向一致[1]



天文學



軌道週期


在太空動力學,以圓或橢圓軌道環繞中心天體運轉的小天體的軌道週期Tdisplaystyle TT,是:


T=2πa3/μdisplaystyle T=2pi sqrt a^3/mu T=2pi sqrt a^3/mu

此處:



adisplaystyle aa,是軌道的半長軸


μdisplaystyle mu mu 是標準重力參數

無論離心率是如何,半長軸相同的橢圓都有相同的軌道週期。


在天文學,是軌道的軌道元素中最重要的,他決定了軌道週期。對太陽系內的天體,半長軸與軌道週期的關係由克卜勒第三定律(原本只是經驗公式)來描述:



T2=a3displaystyle T^2=a^3T^2=a^3

此處T是週期,單位為年;a是半長軸,單位為AU。這個形式就是牛頓的二體問題簡化後的形式:



T2=4π2G(M+m)a3displaystyle T^2=frac 4pi ^2G(M+m)a^3T^2=frac 4pi ^2G(M+m)a^3

此處G是重力常數,M是中心天體的質量,而m是軌道上天體的質量。通常,當中心天體的值量遠大於環繞的天體時,m的質量可以忽略不計。座著這樣的假設和簡化之後,克卜勒發現的以天文單位簡化的形式就出現了。


值得注意的是,在軌道上的天體和主要的天體環繞著質心運動的路徑都是橢圓形。在天文學上的半長徑總是主、伴兩星之間的距離,因此行星的軌道參數都是以太陽為中心的項目。在"主體為中心"和"絕對"軌道之間的差別通過對地月系統的認是說明可以有更清楚的認識。質量的比是81.30059,地心的月球軌道半長軸是384,400公里;另一方面,"質心"的月球軌道半長軸是379,700公里,兩著的差別是4,700公里。月球相對於質心的平均軌道速度是1.010公里/秒,地球是0.012公里/秒,兩者之和是1.022公里/秒;同樣的,以地心的半長軸得到的月球軌道速度也是1.022公里/秒。



平均距離


經常會說半長軸是主伴兩天體的平均距離,其實這樣說是不夠精確的,這與如何取得平均值有關。


  • 對偏近點角(q.v.)的平均距離的確就是半長軸。

  • 對真近點角(從焦點上測量的真實軌道角度)的結果,說也奇怪,是軌道半短軸:b=a1−e2displaystyle b=asqrt 1-e^2,!b=asqrt 1-e^2,!

  • 最後,是對平近點角(以角度表示,經過近心點之後所經歷軌道週期的分數),是對時間的平均數(通常是對門外漢所謂的"平均"):a(1+e22)displaystyle a(1+frac e^22),!a(1+frac e^22),!

橢圓的平均半徑,是以幾何上的中心來測量的,其值為ab=a1−e24displaystyle sqrt ab=asqrt[4]1-e^2,!sqrt ab=asqrt[ 4]1-e^2,!


時間的平均值與半徑成反比,r−1displaystyle r^-1,!r^-1,!,是a−1displaystyle a^-1,!a^-1,!



能量:由狀態向量的半長軸計算


在太空動力學半長軸adisplaystyle aa ,可以從軌道狀態向量得到:


a=−μ2ϵdisplaystyle a=-mu over 2epsilon a=-mu over 2epsilon ,(橢圓軌道)




a=μ2ϵdisplaystyle a=mu over 2epsilon a=mu over 2epsilon ,(雙曲線彈道)




ϵ=v22−μ|r|displaystyle epsilon =v^2 over 2-mu over leftepsilon =v^2 over 2-(特殊軌道能量)




μ=GMdisplaystyle mu =GMmu =GM,(標準重力參數),


此處:



  • vdisplaystyle vv,是從速度向量得到的軌道上物體的軌道速度,


  • rdisplaystyle mathbf r mathbf r,是在迪卡兒的參考座標系上相對於位置向量用於計算的軌道元素(即,對環繞地球的物體是以地球中心和赤道為基準,或對環繞太陽的天體是以太陽中心和黃道為基準),


  • Gdisplaystyle GG,是重力常數,


  • Mdisplaystyle MM,是中心天體的質量。

要注意的是,對特定的中心天體和總比能,無論離心率是多少,半長軸是一個定值。換言之,對特定的一個中心天體和半長軸,則具有的總比能是一定的。



例子


國際太空站( International Space Station,ISS)的軌道週期是91.74分,它的軌道半長軸是6,738公里[1] 。Every minute more corresponds to ca. 50 km more: the extra 300 km of orbit length takes 40 seconds, the lower speed accounts for an additional 20 seconds.



外部連結



  • Semi-major and semi-minor axes of an ellipse With interactive animation


參考資料




  1. ^ 7.1 Alternative Characterization



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