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在一个旋转系统裏，作用力Fdisplaystyle mathbf F ,!、位置向量rdisplaystyle mathbf r ,!、力矩τdisplaystyle boldsymbol tau ,!、动量pdisplaystyle mathbf p ,!、角动量Ldisplaystyle mathbf L ,!，這些物理量之間的关系。

在物理学裏，作用力促使物體繞著轉動軸或支點轉動的趨向，^[1]稱為力矩（torque），也就是扭转的力。转动力矩又称为转矩。力矩能够使物体改变其旋转运动。推擠或拖拉涉及到作用力
，而扭转則涉及到力矩。如图右，力矩τdisplaystyle boldsymbol tau ,!等於径向向量rdisplaystyle mathbf r ,!与作用力Fdisplaystyle mathbf F ,!的外積。

簡略地说，力矩是一種施加於好像螺栓或飛輪一類的物體的扭轉力。例如，用扳手的開口箝緊螺栓或螺帽，然後轉動扳手，這動作會產生力矩來轉動螺栓或螺帽。

根據国际单位制，力矩的单位是牛顿⋅displaystyle cdot 米。本物理量非能量，因此不能以焦耳（J）作單位；根據英制单位，力矩的单位则是英尺⋅displaystyle cdot 磅。力矩的表示符号是希腊字母τdisplaystyle boldsymbol tau ,!，或Mdisplaystyle mathbf M ,!。

力矩與三個物理量有關：施加的作用力Fdisplaystyle mathbf F ,!、從轉軸到施力點的位移向量rdisplaystyle mathbf r ,!、兩個向量之間的夾角θdisplaystyle theta ,!。力矩τdisplaystyle boldsymbol tau ,!以向量方程式表示為

τ=r×Fdisplaystyle boldsymbol tau =mathbf r times mathbf F ,!。

力矩的大小為

τ=rFsin⁡θdisplaystyle tau =rFsin theta ,!。

历史

力矩的概念，起源于阿基米德对杠杆的研究。

定义

用右手定則决定力矩方向

力矩等於作用於杠杆的作用力乘以支点到力的垂直距离。例如，3 牛顿的作用力，施加於离支点2 米处，所产生的力矩，等於1牛顿的作用力，施加於离支点6米处，所产生的力矩。力矩是个向量。力矩的方向与它所造成的旋转运动的旋转轴同方向。力矩的方向可以用右手定則来决定。假设作用力垂直於杠杆。将右手往杠杆的旋转方向弯捲，伸直的大拇指与支点的旋转轴同直线，则大拇指指向力矩的方向^[2]。

假設作用力Fdisplaystyle mathbf F ,!施加於位置為rdisplaystyle mathbf r ,!的粒子。選擇原點（以紅點表示）為參考點，只有垂直分量F⊥displaystyle F_perp ,!會產生力矩。這力矩τ=r×Fdisplaystyle boldsymbol tau =mathbf r times mathbf F ,!的大小為τ=|r||F⊥|=|r||F|sin⁡θmathbf r ，方向為垂直於屏幕向外。

更一般地，如圖右，假設作用力Fdisplaystyle mathbf F ,!施加於位置為rdisplaystyle mathbf r ,!的粒子。選擇原點為參考點，力矩τdisplaystyle boldsymbol tau ,!以方程式定義為

τ =def r×Fdisplaystyle boldsymbol tau stackrel def= mathbf r times mathbf F ,!。

力矩大小為

τ=|r||F|sin⁡θmathbf F ；

其中，θdisplaystyle theta ,!是兩個向量Fdisplaystyle mathbf F ,!與rdisplaystyle mathbf r ,!之間的夾角。

力矩大小也可以表示為

τ=rF⊥displaystyle tau =rF_perp ,!；

其中，F⊥displaystyle F_perp ,!是作用力Fdisplaystyle mathbf F ,!對於rdisplaystyle mathbf r ,!的垂直分量。

任何與粒子的位置向量平行的作用力不會產生力矩。

從叉積的性質，可推論，力矩垂直於位置向量rdisplaystyle mathbf r ,!和作用力Fdisplaystyle mathbf F ,!。力矩的方向與旋轉軸平行，由右手定則決定。

力矩與角動量之間的關係

地心引力Fgdisplaystyle mathbf F_g ,!的力矩造成角动量Ldisplaystyle mathbf L ,!的改变。因此，陀螺呈现进动現象。

假設一個粒子的位置為rdisplaystyle mathbf r ,!，動量為pdisplaystyle mathbf p ,!。選擇原點為參考點，此粒子的角動量Ldisplaystyle mathbf L ,!為

L=r×pdisplaystyle mathbf L =mathbf r times mathbf p ,!。

粒子的角動量對於時間的導數為

dLdt=drdt×p+r×dpdt=v×mv+r×mdvdt=r×madisplaystyle beginalignedfrac dmathbf L dt&=frac dmathbf r dttimes mathbf p +mathbf r times frac dmathbf p dt\&=mathbf v times mmathbf v +mathbf r times mfrac dmathbf v dt\&=mathbf r times mmathbf a \endaligned,! ；

其中，mdisplaystyle m,!是質量，vdisplaystyle mathbf v ,!是速度，adisplaystyle mathbf a ,!是加速度。

應用牛頓第二定律，F=madisplaystyle mathbf F =mmathbf a ,!，可以得到

dLdt=r×Fdisplaystyle frac dmathbf L dt=mathbf r times mathbf F ,!。

按照力矩的定義，τ =def r×Fdisplaystyle boldsymbol tau stackrel def= mathbf r times mathbf F ,!，所以，

τ=dLdtdisplaystyle boldsymbol tau =frac mathrm d mathbf L mathrm d t,!。

作用於一物體的力矩，決定了此物體的角動量Ldisplaystyle mathbf L ,!對於時間tdisplaystyle t,!的導數。

假設幾個力矩共同作用於物體，則這幾個力矩的合力矩τnetdisplaystyle boldsymbol tau _mathrm net ,!共同決定角動量的對於時間的變化：

τ1+⋯+τn=τnet=dLdtdisplaystyle boldsymbol tau _1+cdots +boldsymbol tau _n=boldsymbol tau _mathrm net =frac mathrm d mathbf L mathrm d t,!。

關於物體的繞著固定軸的旋轉運動，

L=Iωdisplaystyle mathbf L =Iboldsymbol omega ,!；

其中，Idisplaystyle I,!是物體對於固定軸的轉動慣量，ωdisplaystyle boldsymbol omega ,!是物體的角速度。

所以，取上述方程式對時間的導數：

τnet=dLdt=d(Iω)dt=Idωdt=Iαdisplaystyle boldsymbol tau _mathrm net =frac mathrm d mathbf L mathrm d t=frac mathrm d (Iboldsymbol omega )mathrm d t=Ifrac mathrm d boldsymbol omega mathrm d t=Iboldsymbol alpha ,!；

其中，αdisplaystyle boldsymbol alpha ,!是物體的角加速度。

单位

力矩的定义是距离乘以作用力。根據国际单位制，力矩的单位是牛顿⋅displaystyle cdot 米^[3]（Nm）。虽然牛顿与米的次序，在数学上，是可以交换的，但是国际重量测量局（Bureau International des Poids et Mesures）规定这次序应是牛顿⋅displaystyle cdot 米，而不是米⋅displaystyle cdot 牛顿^[4]。

根據国际单位制，能量与功量的单位是焦耳，定义为1牛顿⋅displaystyle cdot 米。但是，焦耳不是力矩的单位。因为，能量是力点积距离的标量；而力矩是距离叉积作用力的向量。当然，量纲相同并不尽是巧合，使1牛顿⋅displaystyle cdot 米的力矩，作用1 全转，需要恰巧2πdisplaystyle 2pi ,!焦耳的能量：

E=τθdisplaystyle E=tau theta ,!。

其中，Edisplaystyle E,!是能量，θdisplaystyle theta ,!是移动的角度，单位是弧度。

根據英制，力矩的单位是英尺⋅displaystyle cdot 磅。

矩臂方程式

矩臂图

在物理学外，其他的学术界裡，力矩时常会如以下定义：

τ=(moment arm)⋅forcedisplaystyle boldsymbol tau =(textmoment arm)cdot textrm force,!。

右图显示出矩臂（moment arm）、前面所提及的相对位置rdisplaystyle mathbf r ,!、作用力Fdisplaystyle mathbf F ,!（force）。这个定义並没有指出力矩的方向，只有力矩的大小。所以，并不适用于三维空间问题。

静力概念

当一个物体在静态平衡时，合力是零，对任何一点的合力矩也是零。二维空间的平衡要求是

∑Fx=0displaystyle sum F_x=0,!，

∑Fy=0displaystyle sum F_y=0,!，

∑τ=0displaystyle sum tau =0,!。

这里，Fx, Fydisplaystyle F_x, F_y,!是作用力Fdisplaystyle mathbf F ,!分别在x-轴与y-轴的分量。假若，这三个联立方程式有解，则称此系统为静定系统；不然，则称为静不定系统。

力矩、能量和功率之間的關係

假設施加作用力於一物體，使得此物體移動一段距離，則作用力對於此物體做了機械功。類似地，假設施加力矩於一物體，使得此物體旋轉一段角位移，則力矩對於此物體做了機械功。對於穿過質心的固定軸的旋轉運動，以數學方程式表達，

W=∫θ1θ2τ dθdisplaystyle W=int _theta _1^theta _2tau mathrm d theta ,!；

其中，Wdisplaystyle W,!是機械功，θ1displaystyle theta _1,!、θ2displaystyle theta _2,!分別是初始角和終結角，dθdisplaystyle mathrm d theta ,!是無窮小角位移元素。

根據功能定理，Wdisplaystyle W,!也代表物體的旋轉動能Krotdisplaystyle K_mathrm rot ,!的改變，以方程式表達，

Krot=12Iω2displaystyle K_mathrm rot =tfrac 12Iomega ^2,!。

功率是單位時間內所做的機械功。對於旋轉運動，功率Pdisplaystyle P,!以方程式表達為

P=τ⋅ωdisplaystyle P=boldsymbol tau cdot boldsymbol omega ,!。

請注意，力矩注入的功率只跟瞬時角速度有關，而角速度是否在增加中，或在減小中，或保持不變，功率都與這些狀況無關。

實際上，在與大型輸電網路相連接的發電廠裏，可以觀察到這關係。發電廠的發電機的角速度是由輸電網路的頻率設定，而發電廠的功率輸出是由作用於發電機轉動軸的力矩所決定。

在計算功率時，必須使用一致的單位。採用國際單位制，功率的單位是瓦特，力矩的單位是牛頓-米，角速度的單位是每秒弧度（不是每分鐘轉速rpm，也不是每秒鐘轉速）。

力矩原理

力矩原理闡明，幾個作用力施加於某位置所產生的力矩的總和，等於這些作用力的合力所產生的力矩。力矩原理又名伐里農定理(Varignon's theorem)^[5]（以法国科学家兼神父皮埃爾·伐里農命名），以方程式表達，

(r×F1)+(r×F2)+⋯=r×(F1+F2+⋯)displaystyle (mathbf r times mathbf F _1)+(mathbf r times mathbf F _2)+cdots =mathbf r times (mathbf F _1+mathbf F _2+cdots ),!。

參閱

• 馬力


• 扭力轉換器


• 刚体动力学


• 
  機械平衡（mechanical equilibrium）


• 
  扭矩扳手（torque wrench）

参考文献

1. 
   ^ Serway, R. A. and Jewett, Jr. J. W. (2003). Physics for Scientists and Engineers. 6th Ed. Brooks Cole. ISBN 978-0-534-40842-8.
   


2. 
   ^ *喬治亞州州立大學（Georgia State University）線上物理網頁：力矩的右手定則, [2007-09-08] 
   


3. 
   ^ SI brochure Ed. 8, Section 5.1, Bureau International des Poids et Mesures, 2006 [2007-04-01], （原始内容存档于2007-05-19） 
   


4. 
   ^ SI brochure Ed. 8, Section 2.2.2, Bureau International des Poids et Mesures, 2006 [2007-04-01], （原始内容存档于2005-03-16） 
   


5. 
   ^ Engineering Mechanics: Equilibrium, by C. Hartsuijker, J. W. Welleman, page 64
   

• 
  Tipler, Paul. Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (5th ed.). W. H. Freeman. 2004. ISBN 978-0-7167-0809-4. 
  

外部链接

• 模擬力矩平衡的Java小程式
  


• 
  Torque and Angular Momentum in Circular Motion on Project PHYSNET.


• Torque Unit Converter