Myujth

階乘，定義于整個實數（負整數除外）。
例如：1!=0!=1displaystyle 1!=0!=1,，(−0.5)!=πdisplaystyle (-0.5)!=sqrt pi ，0.5!=0.5π.displaystyle 0.5!=0.5sqrt pi .

一个正整数的階乘（英语：factorial）是所有小於及等於該數的正整數的積，并且定義0的阶乘为1。自然數n的階乘寫作n!。1808年，基斯頓·卡曼引進這個表示法。

n!=∏k=1nk∀n≥1displaystyle n!=prod _k=1^nkquad forall ngeq 1

亦即n!=1×2×3×...×n。階乘亦可以遞迴方式定義：0!=1，n!=(n-1)!×n。

階乘亦可定義于整個實數（負整數除外），其与伽瑪函數的关系为：

z!=Γ(z+1)=∫0∞tze−tdtdisplaystyle z!=Gamma (z+1)=int _0^infty t^ze^-t,dt

n!可质因子分解为∏p≤np∑r=1n[npr]displaystyle prod _pleq np^sum _r=1^n[frac np^r]，如6!=2⁴×3²×5¹。^[1]

計算

階乘與斯特靈公式

body.skin-minerva .mw-parser-output div.mw-graphmax-width:100%;overflow:auto

n!displaystyle n!（藍色）、2πn(ne)ndisplaystyle sqrt 2pi nleft(frac neright)^n（橘色），數字越大2πn(ne)n,displaystyle sqrt 2pi nleft(frac neright)^n,會越趨近n!displaystyle n!。但2πn(ne)ndisplaystyle sqrt 2pi nleft(frac neright)^n在負值則會因為出現虛數而無法使用。

計算n!時，當n不太大時，普通的科學計算機都可以計算，能夠處理不超過10100displaystyle 10^100數值的計算機可以計算至69!。

當n很大時，可以用斯特林公式估計：
n!≈2πn(ne)ndisplaystyle n!approx sqrt 2pi n;left(frac neright)^n

更精确的估计是：
n!=2πn(ne)neλndisplaystyle n!=sqrt 2pi n;left(frac neright)^ne^lambda _n

其中
112n+1<λn<112ndisplaystyle frac 112n+1<lambda _n<frac 112n

部分函數值

非正整數的擴展

階乘原始的定義是在整數，為離散，然而在部分領域如機率論要探討到連續或其他需求（如組合數當取出的數量大於原有的數量會出現負階乘）時，則需要將階乘從正整數推廣到實數，甚至是複數。

Γ函数和Π函数

伽馬函數將階乘函數為非整數插值。主要線索是階乘函數的遞歸關係在連續的伽馬函數中也存在。

除了非負整數之外，還可以為非整數值定義階乘函數，但這需要使用更高級的數值分析方法。

可以透過內差的方式將階乘兩整數之間填入數值，但其內差的數字必須也要滿足階乘的遞迴定義。一個良好的內插結果是Γ函数，其為所有非負整數和複數給出了定義，而當z的實部為正時，可以透過下列瑕積分來計算Γ函数值：

Γ(z)=∫0∞tz−1e−tdt.displaystyle Gamma (z)=int _0^infty t^z-1e^-t,dt,.

它與階乘的關係是對於任何自然數n滿足：

n!=Γ(n+1).displaystyle n!=Gamma (n+1),.

複數的階乘

複數階乘之模與輻角的等值線

可以透過Γ函數來計算複數的階乘。右圖顯示了複數階乘之模與輻角的等值線

令f為：

f=ρeiφ=(x+iy)!=Γ(x+iy+1).displaystyle f=rho e^ivarphi =(x+rm iy)!=Gamma (x+iy+1),.

右圖顯示了幾個模（絕對值）ρ與輻角φ的幾個等級，圖表的繪製範圍為−3 ≤ x ≤ 3, −2 ≤ y ≤ 2個單位長。較粗的鉛直線為輻角值為φ = ±π的等值線。

細線表示模或輻角相等之函數值的位置。在每個負整數的位置為奇點，無法定義其模和輻角，並且在離奇點越近的地方，等值線的密度就越密集。

在|z| < 1時，可使用泰勒級數來計算：

z!=∑n=0∞gnzn.displaystyle z!=sum _n=0^infty g_nz^n,.

其泰勒級數的前幾項係數為：

其中，γ為歐拉-馬斯刻若尼常數

ζ(z)為黎曼ζ函數

部分計算機代數的系統存在可以直接產生這些展開式係數的語法，例如SageMath。

此種方式甚至可以將階乘推廣至四元數甚至其他數學結構。

z	z!
實數
1、2、3、4、5	1、2、6、24、120 （OEIS中的数列A000142）
12displaystyle frac 12	π2≈displaystyle frac sqrt pi 2approx ,0.88622692545276displaystyle 0.88622692545276 （OEIS中的数列A019704）
複數
idisplaystyle i	0.49801566811836−0.15494982830181idisplaystyle 0.49801566811836-0.15494982830181i （OEIS中的数列A212877）、（OEIS中的数列A212878）
2idisplaystyle 2i	0.15190416419017+0.019804630236207idisplaystyle 0.15190416419017+0.019804630236207i
1+idisplaystyle 1+i	0.65296549642017+0.34306583981655idisplaystyle 0.65296549642017+0.34306583981655i
四元數
jdisplaystyle j	0.49801566811836−0.15494982830181jdisplaystyle 0.49801566811836-0.15494982830181j
kdisplaystyle k	0.49801566811836−0.15494982830181kdisplaystyle 0.49801566811836-0.15494982830181k
1+i+jdisplaystyle 1+i+j	0.31694392956467−0.045151372272429i−0.045151372272429jdisplaystyle 0.31694392956467-0.045151372272429i-0.045151372272429j

階乘的色相環複變函數圖形。顏色越深代表絕對值越接近零；顏色越接近白色代表絕對值趨於無窮。其中紅色為正實數、青藍色為負實數。

較大的階乘值可透過双伽玛函数積分的連續分數來近似，這個方法由T. J. Stieltjes於1894提出。

將階乘寫為z! = e^P(z)，其中P(z)為：

P(z)=p(z)+ln⁡2π2−z+(z+12)ln⁡(z),displaystyle P(z)=p(z)+frac ln 2pi 2-z+left(z+tfrac 12right)ln(z),,

Stieltjes給出了其連分數值：

p(z)=a0z+a1z+a2z+a3z+⋱displaystyle p(z)=cfrac a_0z+cfrac a_1z+cfrac a_2z+cfrac a_3z+ddots

前幾項係數a_n為^[2]：

n	an
0	1/12
1	1/30
2	53/210
3	195/371
4	22,999/22,737
5	29,944,523/19,733,142
6	109,535,241,009/48,264,275,462

負整數的階乘

負整數的階乘可透過階乘的遞迴定義n! = n × (n − 1)!逆推而得：

(n−1)!=n!n.displaystyle (n-1)!=frac n!n.

但由於計算負一階乘會出現除以零，因此無法直接給出負整數的階乘。

其他數學結構的階乘

透過伽瑪函數或其展開式亦可以將階乘擴展到其他能定義加法和乘法等基本運算的數學結構，如矩陣^[3]。

矩陣的階乘具有如下性質：

A!=Γ(A+I)=AΓ(A)=A(A−I)!displaystyle A!=Gamma (A+I)=AGamma (A)=A(A-I)!。

並且Γ(I)=Idisplaystyle Gamma (I)=I，其中，Idisplaystyle I是單位矩陣、Adisplaystyle A是一個方陣，同時A!displaystyle A!是一個非奇異矩陣^[4]。

換句話說，即矩陣Adisplaystyle A為單位矩陣的純量ndisplaystyle n倍，其階乘為A!=(nI)!=n!Idisplaystyle A!=(nI)!=n!I，例如(n00n)!=n!I=(n!00n!)displaystyle bigl (beginsmallmatrixn&0\0&nendsmallmatrixbigr )!=n!I=bigl (beginsmallmatrixn!&0\0&n!endsmallmatrixbigr )

對於一個可對角化矩陣(abcd)displaystyle bigl (beginsmallmatrixa&b\c&dendsmallmatrixbigr )其階乘為：

(abcd)!=Γ((a+1bcd+1))=12Ω(Γ(λ1)(d−a+Ω)+Γ(λ2)(a−d+Ω)−2b(Γ(λ1)−Γ(λ2))−2c(Γ(λ1)−Γ(λ2))Γ(λ1)(a−d+Ω)+Γ(λ2)(d−a+Ω))displaystyle left.beginpmatrixa&b\c&dendpmatrixright.!=Gamma left(bigl (beginsmallmatrixa+1&b\c&d+1endsmallmatrixbigr )right)=frac 12Omega beginpmatrixGamma (lambda _1)left(d-a+Omega right)+Gamma (lambda _2)left(a-d+Omega right)&-2bleft(Gamma (lambda _1)-Gamma (lambda _2)right)\-2cleft(Gamma (lambda _1)-Gamma (lambda _2)right)&Gamma (lambda _1)left(a-d+Omega right)+Gamma (lambda _2)left(d-a+Omega right)endpmatrix^[4]

其中，λ1displaystyle lambda _1和λ2displaystyle lambda _2是(a+1bcd+1)displaystyle bigl (beginsmallmatrixa+1&b\c&d+1endsmallmatrixbigr )的特徵值，分別為λ1=1+(a+d−Ω)2displaystyle lambda _1=1+beginsmallmatrixfrac left(a+d-Omega right)2endsmallmatrix和λ2=1+(a+d+Ω)2displaystyle lambda _2=1+beginsmallmatrixfrac left(a+d+Omega right)2endsmallmatrix，其中，Ω=(a−d)2+4bcdisplaystyle Omega =beginsmallmatrixsqrt (a-d)^2+4bcendsmallmatrix^[4]

變化

定义扩展

伽瑪函數

階乘的定義可推廣到複數，其与伽瑪函數的关系为：

z!=Γ(z+1)=∫0∞tze−tdt.displaystyle z!=Gamma (z+1)=int _0^infty t^ze^-t,mathrm d t.!。

伽瑪函數滿足Γ(n+1)=(n)Γ(n)displaystyle Gamma (n+1)=(n)Gamma (n)，

遞進/遞降階乘

• 遞進階乘：(x)n=xn¯=x(x+1)...(x+n−1)displaystyle (x)_n=x^overline n=x(x+1)...(x+n-1)
  


• 遞降階乘：xn_=x(x−1)...(x−n+1)displaystyle x^underline n=x(x-1)...(x-n+1)
  


• xn¯=(−1)n(−x)n_displaystyle x^overline n=(-1)^n(-x)^underline n

双階乘

n!!displaystyle n!!表示双階乘，其定義為：
(2n−1)!!=1×3×5×7×⋯×(2n−1)displaystyle (2n-1)!!=1times 3times 5times 7times cdots times (2n-1)

(2n)!!=2×4×6×8×⋯×(2n)=2nn!displaystyle (2n)!!=2times 4times 6times 8times cdots times (2n)=2^nn!

廣義的雙階乘

無視上述定義的n!!因為即使值的N，雙階乘為奇數可擴展到最實數和複數z的注意到，當z是一個正的奇數則：

z!!=z(z−2)⋯(3)=2z−12(z2)(z−22)⋯(32)=2z−12Γ(z2+1)Γ(12+1)=2z+1πΓ(z2+1).displaystyle z!!=z(z-2)cdots (3)=2^frac z-12left(frac z2right)left(frac z-22right)cdots left(frac 32right)=2^frac z-12frac Gamma left(frac z2+1right)Gamma left(frac 12+1right)=sqrt frac 2^z+1pi Gamma left(frac z2+1right),.

獲得的表達接受一個以上公式(2n+1)!!displaystyle (2n+1)!!和(2n−1)!!displaystyle (2n-1)!!並表示在條件發生的階乘函數的γ既可以看出（使用乘法定理）等同於一個給定在這裡。

z!!定義為所有複數除負偶數。

使用它的定義，半徑為R的n維超球其體積可表示為：

Vn=2(2π)n−12n!!Rn.displaystyle V_n=frac 2(2pi )^frac n-12n!!R^n. n=1,3,5,...

Vn=(π)n2n2!Rn.displaystyle V_n=frac (pi )^frac n2frac n2!R^n. n=2,4,6,...

多重阶乘

n!(k)displaystyle n!^(k)被称为n的k重阶乘，定义为：

n!(k)={1, if 0≤n<k;n(n−k)!(k),if n≥k.  {displaystyle n!^(k)=leftbeginmatrix1,qquad qquad &&mboxif 0leq n<k;\n(n-k)!^(k),&&mboxif ngeq k.quad ,endmatrixright.

廣義的多重階乘

能將多重階乘推廣到複數（甚至是四元數）

z!(k)=z(z−k)⋯(k+1)=kz−1k(zk)(z−kk)⋯(k+1k)=kz−1kΓ(zk+1)Γ(1k+1).displaystyle z!^(k)=z(z-k)cdots (k+1)=k^frac z-1kleft(frac zkright)left(frac z-kkright)cdots left(frac k+1kright)=k^frac z-1kfrac Gamma left(frac zk+1right)Gamma left(frac 1k+1right),.

四次階乘

所謂的四次阶乘（又称四重阶乘） 不是 n!⁽⁴⁾，而是 (2n)!/n!,前幾個四次階乘為

1, 2, 12, 120, 1680, 30240, 665280, ....

它也等於

2n(2n)!n!2n=2n(2⋅4⋯2n)[1⋅3⋯(2n−1)]2⋅4⋯2n=(1⋅2)⋅(3⋅2)⋯[(2n−1)⋅2]=(4n−2)!(4).displaystyle beginaligned2^nfrac (2n)!n!2^n&=2^nfrac (2cdot 4cdots 2n)[1cdot 3cdots (2n-1)]2cdot 4cdots 2n\[8pt]&=(1cdot 2)cdot (3cdot 2)cdots [(2n-1)cdot 2]=(4n-2)!^(4).endaligned

hyper階乘

hyper階乘（hyperfactorial有時譯作過度階乘）寫作H（n），其定義為：

H(n)=∏k=1nkk=11⋅22⋅33⋯(n−1)n−1⋅nndisplaystyle H(n)=prod _k=1^nk^k=1^1cdot 2^2cdot 3^3cdots (n-1)^n-1cdot n^n

hyper階乘和階乘差不多，但產生更大的數。hyper階乘的增長速度卻並非跟一般階乘在大小上相差很遠。
前幾項的hyper階乘為：

1, 4, 108, 27648, 86400000, ... （OEIS中的数列A002109）

超級階乘

1995年，尼爾·斯洛恩和西蒙·普勞夫定義了超級階乘（superfactorial）為首n個階乘的積。即sf(n)=1!×2!×3!×...×n!。一般來說

sf(n)=∏k=1nk!=∏k=1nkn−k+1=1n⋅2n−1⋅3n−2⋯(n−1)2⋅n1.displaystyle mathrm sf (n)=prod _k=1^nk!=prod _k=1^nk^n-k+1=1^ncdot 2^n-1cdot 3^n-2cdots (n-1)^2cdot n^1.

前幾項的超級階乘為：

1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, ... （OEIS中的数列A000178）

另一種定義

柯利弗德·皮寇弗在他的書Key to Infinity定義了另一個超級階乘，寫作nS!displaystyle nmathrm S !!!!!;,!（nS!displaystyle nmathrm S !!!!!;,!實際上應該是!和S重疊在一起）：nS!=n(4)ndisplaystyle nmathrm S !!!!!;,!=n^(4)n，⁽⁴⁾表示hyper4，使用高德納箭號表示法即nS!=(n!)↑↑(n!)displaystyle nmathrm S !!!!!;,!=(n!)uparrow uparrow (n!)。這個數列：

1S!=1displaystyle 1mathrm S !!!!!;,!=1

2S!=22=4displaystyle 2mathrm S !!!!!;,!=2^2=4

3S!=6↑↑6=666666displaystyle 3mathrm S !!!!!;,!=6uparrow uparrow 6=6^6^6^6^6^6，读作6个6重幂。

4S!=(4!)↑↑(4!)=24↑↑24displaystyle 4mathrm S !!!!!;,!=(4!)uparrow uparrow (4!)=24uparrow uparrow 24 = 2424...24displaystyle beginmatrix24_^24^^.,^.,^.,^24\endmatrix，一直写24个24，读作24个24重幂。

質數階乘

質數階乘是所有小於或等於該數且大於或等於2的質數的積，自然數n的質數階乘，寫作n#。

目前質數階乘只能用遞迴方式定義，因為尚未找到一個能用基本函數表示所有質數的函數或一條包含所有質數的曲線

一般情況下質數階乘定義為：

n#=∏i=1π(n)pi=pπ(n)#displaystyle n#=prod _i=1^pi (n)p_i=p_pi (n)#

其中, π(n)是質數計數函數，小於或等於某個實數n的質數的個數的函數≤n。

自然数阶幂

阶幂也称叠幂或者重幂记作n!displaystyle n^!（感叹号!写在自然数的右上角），它的定义是将自然数1至n的数由大到小作幂指数重叠排列，数学定义如下：

n!=n(n−1)!=n(n−1)(n−2)...321displaystyle n^!=n^(n-1)^!=n_^(n-1)^(n-2)^.,^.,^.,^3^2^1

其中n ≥ 1，前几项的重幂数为：

1 , 2 , 9 , 262144 , ... （OEIS中的数列A049384）

第5个重幂数是一个有183231位阿拉伯数字组成的超大自然数^[5][6]，其值約為6.20606987866×10183230displaystyle 6.20606987866times 10^183230

另外一種定義則是每個阶幂都先取一次階乘：

n!(n−1)!!=n!(n−1)!(n−2)!...3!2!1!displaystyle n!^(n-1)!^!=n!_^(n-1)!^(n-2)!^.,^.,^.,^3!^2!^1!

前幾個阶乘阶幂為：

1, 2, 36, 48708493958471199415506599153950129703565945470976, ... （OEIS中的数列A073581）

第5个阶乘阶幂值已大於101050displaystyle 10^10^50^[7][8]，其值約為4.3056×101.01274×1050≈101050.00549705084703displaystyle 4.3056times 10^1.01274times 10^50approx 10^10^50.00549705084703

二次阶幂：

n!!=n!2=n!(n−1)!(n−2)!...3!2!1!displaystyle n^!!=n^!^2=n^!(n-1)^!(n-2)^!.^.^.^3^!2^!1^!

前幾個二次阶幂為：

1, 2, 81...

第4个阶乘阶幂值已大於10438displaystyle 10^438，其值約為7.975×10438displaystyle 7.975times 10^438。

相应地，m次阶幂定义如下：

n!m=n!(m−1)(n−1)!m=n!(m−1)(n−1)!(m−1)(n−2)!(m−1)...3!(m−1)2!(m−1)1!(m−1)displaystyle n^!^m=n^!^(m-1)(n-1)^!^m=n^!^(m-1)(n-1)^!^(m-1)(n-2)^!^(m-1).^.^.^3^!^(m-1)2^!^(m-1)1^!^(m-1)

其中n，m≥1，且n，m∈Z。

倒數階乘

倒數階乘是指所有小於及等於該數的正整數之倒數的積，其值與階乘的倒數相同：

∏k=1n1k=1n!∀n≥1displaystyle prod _k=1^nfrac 1k=frac 1n!quad forall ngeq 1

其無窮級數收斂在e^[9]：

∑n=0∞∏k=1n1k=edisplaystyle sum _n=0^infty prod _k=1^nfrac 1k=e

考量階乘可以表示為連續的伽瑪函數，則有

∫−1∞dxx!=∫0∞dxΓ(x)≈2.80777024,displaystyle int _-1^infty frac dxx!,=int _0^infty frac dxGamma (x),approx 2.80777024,

這個值又稱為弗朗桑－羅賓遜常數（英语：Fransén–Robinson_constant）。^[10]

符号史

• 瑞士数学家欧拉（Euler, L.）于1751年用大写字母Mdisplaystyle M表示mdisplaystyle m阶乘M=1⋅2⋅3⋅⋯⋅mdisplaystyle M=1cdot 2cdot 3cdot cdots cdot m。


• 意大利数学家鲁菲尼（Ruffini, P.）在1799年出版的方程著述中，用小写字母πdisplaystyle pi 表示mdisplaystyle m阶乘。


• 德国数学家高斯（Gauss, C.F）于1818年则用Π(n)displaystyle Pi (n)表示n阶乘。


• 用符号∣n_displaystyle underline mid n表示ndisplaystyle n阶乘的方法起源于英国，尚不能确定其创始人，1827年，由雅来特（Jarrett）的建议得以流行，现代有时亦用此阶乘符号。


• 现在通用的阶乘符号n!displaystyle n!是法国数学家克拉姆（Kramp, C.）于1808年最先提出来的，后经德国数学家、物理学家格奥尔格·欧姆（Ohm, M.）等人的倡议而流行起来，直用到现在。

參見

• 伽瑪函數


• 斯特靈公式


• 階乘倒數


• 阶乘符号


• 排列组合


• 威尔逊定理

參考文獻