Myujth

この項目では、命題の同値性について説明しています。同値関係における同値については「同値関係」をご覧ください。

「iff」はこの項目へ転送されています。その他のIFFについては「IFF」をご覧ください。

この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（2016年11月）

同値（どうち）または等価（とうか）とは、2つの命題が共に真または共に偽のときに真となる論理演算である。
英語ではequivalence (EQ)。「if and only if」を略して、iff ともいう。否定排他的論理和 (XNOR) に等しい。
演算子記号は ⇔、↔、≡、=、EQ などが使われる。

真理値表

性質

同値の基本的な性質は以下のとおり。⇒displaystyle Rightarrow は論理包含（ならば）、∧displaystyle land は論理積（かつ）。

• 反射律: p⇔pdisplaystyle pLeftrightarrow p
  


• 対称律: (p⇔q)⇒(q⇔p)displaystyle (pLeftrightarrow q)Rightarrow (qLeftrightarrow p)
  


• 推移律: (p⇔q)∧(q⇔r)⇒(p⇔r)displaystyle (pLeftrightarrow q)land (qLeftrightarrow r)Rightarrow (pLeftrightarrow r)
  

他にも次のような性質がある。¬displaystyle lnot は否定、⊻displaystyle veebar は排他的論理和。

• 反対称律: (p⇒q)∧(q⇒p)⇒(p⇔q)displaystyle (pRightarrow q)land (qRightarrow p)Rightarrow (pLeftrightarrow q)
  


• (p⇔q)⇔¬(p⊻q)displaystyle (pLeftrightarrow q)Leftrightarrow lnot (pveebar q)

必要十分条件

二つの条件 p 、q に対して、「 p を満たすものは全て q も満たす 」 というとき、「 p は q である為の十分条件である 」 あるいは 「 q は p である為の必要条件である 」 という。また、「 p は q である為の十分条件であり、q は p である為の十分条件である 」 というとき、「 p は q である為の必要十分条件である 」 あるいは 「 p と q とは同値である 」 という。

例 1　　自然数変数 n についての条件 p(n), q(n) を次のように定める。

• 
  p(n)： n > 10


• 
  q(n)： 2n > 20

そのとき、p(n) は q(n) である為の必要十分条件である。すなわち、n > 10 は 2n > 20 である為の必要十分条件である。

例 2　　実数変数 x についての条件 p(x), q(x) を次のように定める。

• 
  p(x)： x > 0


• 
  q(x)： x² > 0

そのとき、p(x) は q(x) である為の十分条件である。しかし、−1 は q(x) を満たすが ｐ(x) を満たさないので、 「q(x) を満たす実数は全て p(x) を満たす」 とはいえない。よって、q(x) は p(x) である為の十分条件ではない。従って、p(x) は q(x) である為の必要十分条件ではない。

例 3　　￢、⇔ を論理演算とし、命題変数 A 、B についての条件 p(A, B), q(A, B) を次のように定める。 ( ￢ は集合 真、偽 から集合 真、偽 への 1 つの写像である。⇔ は 真、偽 × 真、偽 から 真、偽 への 1 つの写像である。A 、B は 真、偽 の元の変数である。)

• 
  p(A, B)： ￢( A ⇔B ) = 真


• 
  q(A, B)： ( ￢A )⇔B = 真

そのとき、p(A, B) は q(A, B) である為の必要十分条件である。すなわち、「￢( A ⇔B ) = 真」 は 「( ￢A )⇔B = 真」 である為の必要十分条件である。

関連項目

• 数理論理学


• 命題


• 同一性

脚注

外部リンク

• 
  


• 
  Necessary and Sufficient Conditions （英語） - スタンフォード哲学百科事典「必要条件と十分条件」の項目。


• Weisstein, Eric W. "Equivalent". MathWorld（英語）..mw-parser-output cite.citationfont-style:inherit.mw-parser-output .citation qquotes:"""""""'""'".mw-parser-output .citation .cs1-lock-free abackground:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Lock-green.svg/9px-Lock-green.svg.png")no-repeat;background-position:right .1em center.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration abackground:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg/9px-Lock-gray-alt-2.svg.png")no-repeat;background-position:right .1em center.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription abackground:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/aa/Lock-red-alt-2.svg/9px-Lock-red-alt-2.svg.png")no-repeat;background-position:right .1em center.mw-parser-output .cs1-subscription,.mw-parser-output .cs1-registrationcolor:#555.mw-parser-output .cs1-subscription span,.mw-parser-output .cs1-registration spanborder-bottom:1px dotted;cursor:help.mw-parser-output .cs1-ws-icon abackground:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Wikisource-logo.svg/12px-Wikisource-logo.svg.png")no-repeat;background-position:right .1em center.mw-parser-output code.cs1-codecolor:inherit;background:inherit;border:inherit;padding:inherit.mw-parser-output .cs1-hidden-errordisplay:none;font-size:100%.mw-parser-output .cs1-visible-errorfont-size:100%.mw-parser-output .cs1-maintdisplay:none;color:#33aa33;margin-left:0.3em.mw-parser-output .cs1-subscription,.mw-parser-output .cs1-registration,.mw-parser-output .cs1-formatfont-size:95%.mw-parser-output .cs1-kern-left,.mw-parser-output .cs1-kern-wl-leftpadding-left:0.2em.mw-parser-output .cs1-kern-right,.mw-parser-output .cs1-kern-wl-rightpadding-right:0.2em


• Weisstein, Eric W. "Iff". MathWorld（英語）.

表 話 編 歴 論理演算 恒真式 ( ⊤displaystyle top ) NAND ( ↑displaystyle uparrow ) 逆含意 ( ←displaystyle leftarrow ) IMP ( →displaystyle rightarrow ) OR ( ∨displaystyle lor ) 否定 ( ¬displaystyle neg ) XOR ( ⊕displaystyle oplus ) 同値 ( ↔displaystyle leftrightarrow ) 命題 NOR ( ↓displaystyle downarrow ) 非含意 ( ↛displaystyle nrightarrow ) 逆非含意 ( ↚displaystyle nleftarrow ) AND ( ∧displaystyle land ) 矛盾 ( ⊥displaystyle bot )