Myujth

在数学中，张量积，记为 ⊗displaystyle otimes ，可以应用于不同的上下文中如向量、矩阵、张量、向量空间、代数、拓扑向量空间和模。在各种情况下这个符号的意义是同样的: 最一般的双线性运算。在某些上下文中也叫做外积。

例子:

b⊗a→[b1b2b3b4][a1a2a3]=[a1b1a2b1a3b1a1b2a2b2a3b2a1b3a2b3a3b3a1b4a2b4a3b4]displaystyle mathbf b otimes mathbf a rightarrow beginbmatrixb_1\b_2\b_3\b_4endbmatrixbeginbmatrixa_1&a_2&a_3endbmatrix=beginbmatrixa_1b_1&a_2b_1&a_3b_1\a_1b_2&a_2b_2&a_3b_2\a_1b_3&a_2b_3&a_3b_3\a_1b_4&a_2b_4&a_3b_4endbmatrix

结果的秩为1，结果的维数为 4×3 = 12。

这里的秩指的是“张量秩”（所需指标数），而维数计算在结果数组(阵列)中自由度的数目；矩阵的秩是 1。

代表情况是任何两个被当作矩阵的矩形数组的克罗内克积。在同维数的两个向量之间的张量积的特殊情况是并矢积。

两个张量的张量积

有两个(或更多)张量积的分量的一般公式。例如，如果 U 和 V 是秩分别为 n 和 m 的两个协变张量，则它们的张量积的分量给出为

(V⊗U)i1i2…im+n=Vi1i2i3…inUin+1in+2…in+mdisplaystyle (Votimes U)_i_1i_2dots i_m+n=V_i_1i_2i_3dots i_nU_i_n+1i_n+2dots i_n+m。^[1]

所以两个张量的张量积的分量是每个张量的分量的普通积。

注意在张量积中，因子 U 消耗第一个 rank(U) 指标，而因子 V 消耗下一个 rank(V) 指标，所以

rank(U⊗V)=rank(U)rank(V)displaystyle mathrm rank (Uotimes V)=mathrm rank (U)mathrm rank (V)

例子

设 U 是类型 (1,1) 的张量，带有分量 U^α_β；并设 V 是类型 (1,0) 的张量，带有分量 V^γ。则

UαβVγ=(U⊗V)αβγdisplaystyle U^alpha _beta V^gamma =(Uotimes V)^alpha _beta ^gamma

而

VμUνσ=(V⊗U)μνσdisplaystyle V^mu U^nu _sigma =(Votimes U)^mu nu _sigma 。

张量积继承它的因子的所有指标。

两个矩阵的克罗内克积

对于矩阵这个运算通常叫做克罗内克积，用来明确结果有特定块结构在其上，其中第一个矩阵的每个元素被替代为这个元素与第二个矩阵的积。对于矩阵 Udisplaystyle U 和 Vdisplaystyle V:

U⊗V=[u11Vu12V⋯u21Vu22V⋮⋱]=[u11v11u11v12⋯u12v11u12v12⋯u11v21u11v22u12v21u12v22⋮⋱u21v11u21v12u21v21u21v22⋮]displaystyle Uotimes V=beginbmatrixu_11V&u_12V&cdots \u_21V&u_22V\vdots &&ddots endbmatrix=beginbmatrixu_11v_11&u_11v_12&cdots &u_12v_11&u_12v_12&cdots \u_11v_21&u_11v_22&&u_12v_21&u_12v_22\vdots &&ddots \u_21v_11&u_21v_12\u_21v_21&u_21v_22\vdots endbmatrix = ""beginbmatrix" u_11V & u_12V & cdots \"
u_21V & u_22V \
vdots & & ddots
endbmatrix
= "beginbmatrix"
u_11v_11 & u_11v_12 & cdots & u_12v_11 & u_12v_12 & cdots \
u_11v_21 & u_11v_22 & & u_12v_21 & u_12v_22 \
vdots & & ddots \
u_21v_11 & u_21v_12 \
u_21v_21 & u_21v_22 \
vdots
endbmatrix"/>。

多重线性映射的张量积

给定多重线性映射 f(x1,…,xk)displaystyle f(x_1,dots ,x_k) 和 g(x1,…,xm)displaystyle g(x_1,dots ,x_m)
它们的张量积是多重线性函数

(f⊗g)(x1,…,xk+m)=f(x1,…,xk)g(xk+1,…,xk+m)displaystyle (fotimes g)(x_1,dots ,x_k+m)=f(x_1,dots ,x_k)g(x_k+1,dots ,x_k+m)

向量空间的张量积

在域 Kdisplaystyle K 上的两个向量空间 V 和 W 的张量积 V⊗Wdisplaystyle Votimes W 有通过“生成元和关系”的方法的形式定义。在这些 (v,w)displaystyle (v,w) 的关系下的等价类被叫做“张量”并指示为 v⊗wdisplaystyle votimes w。通过构造，可以证明在张量之间的多个恒等式并形成张量的代数。

要构造 V⊗Wdisplaystyle Votimes W，采用在 Kdisplaystyle K 之上带有基 V×Wdisplaystyle Vtimes W 的向量空间，并应用(因子化所生成的子空间)下列多线性关系:

• (v1+v2)⊗w=v1⊗w+v2⊗wdisplaystyle (v_1+v_2)otimes w=v_1otimes w+v_2otimes w


• v⊗(w1+w2)=v⊗w1+v⊗w2displaystyle votimes (w_1+w_2)=votimes w_1+votimes w_2


• cv⊗w=v⊗cw=c(v⊗w)displaystyle cvotimes w=votimes cw=c(votimes w)

这里的 v,vi,w,widisplaystyle v,v_i,w,w_i 是来自适当空间的向量，而 cdisplaystyle c 来自底层域 Kdisplaystyle K。

我们可以推出恒等式

0v⊗w=v⊗0w=0(v⊗w)=0displaystyle 0votimes w=votimes 0w=0(votimes w)=0，

零在 V⊗Wdisplaystyle Votimes W 中。

结果的张量积 V⊗Wdisplaystyle Votimes W 自身是向量空间，它可以直接通过向量空间公理来验证。分别给定 V 和 W 基 vidisplaystyle v_i 和 widisplaystyle w_i，形如 vi⊗wjdisplaystyle v_iotimes w_j
的张量形成 V⊗Wdisplaystyle Votimes W 的基。张量积的维数因此是最初空间维数的积；例如 Rm⊗Rndisplaystyle mathbb R ^motimes mathbb R ^n 有维数 mndisplaystyle mn。

张量积的泛性质

张量积可以用泛性质来刻画。考虑通过双线性映射 φ 把笛卡尔积 V × W 嵌入到向量空间 X 的问题。张量积构造 V ⊗ W 与给出自

ϕ(u,w)=u⊗wdisplaystyle phi (u,w)=uotimes w

的自然嵌入映射 φ : V × W → V ⊗ W 一起是这个问题在如下意义上的“泛”解。对于任何其他这种对 (X, ψ)，这里的 X 是向量空间，而 ψ 是双线性映射 V × W → X，则存在一个唯一的线性映射

T:V⊗W→Xdisplaystyle T:Votimes Wrightarrow X

使得

ψ=T∘ϕdisplaystyle psi =Tcirc phi 。

假定这个泛性质，张量积在同构意义下的惟一性是容易验证的。

直接推论是从 V × W 到 X 的双线性映射

B(V×W,X)displaystyle B(Vtimes W,X)

和线性映射

L(V⊗W,X)displaystyle L(Votimes W,X)

的同一性。它是 ψ 到 T 的自然同构映射。

希尔伯特空间的张量积

两个希尔伯特空间的张量积是另一个希尔伯特空间，其定义如下。

定义

设 H1displaystyle H_1 和 H2displaystyle H_2 是两个希尔伯特空间，分别带有内积 ⟨⋅,⋅⟩1displaystyle langle cdot ,cdot rangle _1 和 ⟨⋅,⋅⟩2displaystyle langle cdot ,cdot rangle _2。构造 H₁ 和H₂ 的张量积H1⊗^H2displaystyle H_1hat otimes H_2如下：

考虑他们的作为线性空间的张量积H=H1⊗H2displaystyle H=H_1otimes H_2。H1displaystyle H_1 和 H2displaystyle H_2上的内积自然地扩展到Hdisplaystyle H上：

由内积的双线性（Bilinearity），只需定义

⟨ϕ1⊗ϕ2,ψ1⊗ψ2⟩=⟨ϕ1,ψ1⟩1⋅⟨ϕ2,ψ2⟩2displaystyle langle phi _1otimes phi _2,psi _1otimes psi _2rangle =langle phi _1,psi _1rangle _1cdot langle phi _2,psi _2rangle _2

其中 ϕ1,ψ1∈H1displaystyle phi _1,psi _1in H_1 和 ϕ2,ψ2∈H2displaystyle phi _2,psi _2in H_2
即可。

现在Hdisplaystyle H是一未必完备的内积空间。将Hdisplaystyle H完备化，得到希尔伯特空间H1⊗^H2displaystyle H_1hat otimes H_2，这就是 H₁ 和 H₂作为希尔伯特空间的张量积。在希尔伯特空间的范畴中，H1⊗^H2displaystyle H_1hat otimes H_2具有如前所述的泛性质，即它是二者在该范畴内的乘积。

性质

如果 H₁ 和 H₂ 分别有正交基 φ_k 和 ψ_l，则 φ_k ⊗ ψ_l 是 H₁ ⊗ H₂ 的正交基。

与对偶空间的关系

在泛性质的讨论中，替代 X 为 V 和 W 的底层标量域生成空间 (V⊗W)⋆displaystyle (Votimes W)^star ( V⊗Wdisplaystyle Votimes W 的对偶空间，包含在那个空间上的所有线性泛函)，它自然的同一于在 V×Wdisplaystyle Vtimes W 上所有双线性函数的空间。换句或说，所有双线性泛函是在张量积上的泛函，反之亦然。

只要 Vdisplaystyle V 和 Wdisplaystyle W 是有限维的，在 V⋆⊗W⋆displaystyle V^star otimes W^star 和 (V⊗W)⋆displaystyle (Votimes W)^star 之间有一个自然的同构，而对于任意维的向量空间我们只有一个包含 V⋆⊗W⋆⊂(V⊗W)⋆displaystyle V^star otimes W^star subset (Votimes W)^star 。所以线性泛函的张量是双线性泛函。这给我们一种新看法，把双线性泛函看做张量积自身。

注解

1. 
   ^
   类似的公式对反变以及混合型张量也成立。尽管许多情形，比如定义了一个内积，这种区分是无关的。
   

参见

• 外积


• 并矢积