集合値函数
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数学における集合値函数（しゅうごうちかんすう、英: set-valued function）または集合値写像（しゅうごうちしゃぞう、英: set-valued mapping）は、その値（終域の元）が集合となっているような写像を言う。集合値函数はゲーム理論や統計学に応用される。
これと対照的に定義域（始域）が集合族であるような函数は集合函数と呼ばれる。
目次
1 定義
2 例
3 応用
4 参考文献
5 関連項目
定義
台集合 W 上の集合族 𝔚（すなわち、𝔚 ⊆ 𝒫(W) に対し、写像
- φ:V→Mdisplaystyle varphi colon Vto mathfrak M
を集合値函数と呼ぶ。ここで定義域 V は任意、値域（終域）𝔚 の元はふたたび集合である。
例
- 写像 φ: R → P(R) を φ(x) = [0,x] と定めれば集合値函数になる。
- 写像 f: D → Z が与えられたとき、各元 y ∈ Z に対して原像 f−1(y) を対応させる写像は、集合値函数 Z → 𝒫(D) を定める。
- 一般に、任意の集合族、従って特に任意の集合列は、それ自体が集合値函数である。
応用
集合値函数は、例えばゲーム理論においてarg max-函数（与えられた函数に対してそれが最大値をとる点を与える）が写像として矛盾なく定義されることを保証するのに用いられる。統計学においても集合値函数は範囲推定を頼りに信頼区間を決定するのに用いられる。範囲推定は統計的な観測値に集合（ふつうは区間、球、楕円）を割り当てる集合値函数である。これらの量とそれに対応する推定量が一致するように選択をした場合、結果は誤差レベルに見合った信頼区間になる。[訳語疑問点]
参考文献
Jean-Pierre Aubin, Hélène Frankowska: Set-Valued Analysis. Birkhäuser Verlag, Boston, ISBN 978-0-8176-4847-3.
関連項目
- 対応 (数学)
- 多価函数
