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在数学中，假設在一个集合Xdisplaystyle X上定義一个等价关系（用∼displaystyle sim 來表示），则Xdisplaystyle X中的某個元素adisplaystyle a的等价类就是在Xdisplaystyle X中等价于adisplaystyle a的所有元素所形成的子集:

[a]=x∼adisplaystyle [a]=xin X。

等价类的概念有助于从已经构造了的集合构造新集合。在Xdisplaystyle X中的给定等价关系∼displaystyle sim 的所有等价类的集合表示为X/∼displaystyle X/sim 并叫做Xdisplaystyle X除以∼displaystyle sim 的商集。这种运算可以（实际上非常不正式的）被认为是输入集合除以等价关系的活动，所以名字“商”和这种记法都是模仿的除法。商集类似于除法的一个方面是，如果Xdisplaystyle X是有限的并且等价类都是等势的，则X/∼displaystyle X/sim 的序是Xdisplaystyle X的序除以一个等价类的序的商。商集被认为是带有所有等价点都识别出来的集合Xdisplaystyle X。

对于任何等价关系，都有从Xdisplaystyle X到X/∼displaystyle X/sim 的一个规范投影映射πdisplaystyle pi ，给出为π(x)=[x]displaystyle pi (x)=[x]。这个映射总是满射的。在Xdisplaystyle X有某种额外结构的情况下，考虑保持这个结构的等价关系，接着称这个结构是良好定义的，而商集在自然方式下继承了这个结构而成为同一个范畴的对象；从adisplaystyle a到[a]displaystyle [a]的映射则是在这个范畴内的满态射。参见同余关系。

例子

• 如果Xdisplaystyle X是轿车的集合，而∼displaystyle sim 是“颜色相同”的等价类，则一个特定等价类由所有绿色轿车组成。X/∼displaystyle X/sim 自然的被认同于所有轿车颜色的集合。


• 考虑在整数集合Zdisplaystyle mathbb Z 上的“模2displaystyle 2” ﹝見同餘﹞等价关系: x∼ydisplaystyle xsim y当且仅当x−ydisplaystyle x-y是偶数。这个关系精确的引发两个等价类: [0]displaystyle [0]由所有偶数组成，[1]displaystyle [1]由所有奇数组成。在这个关系下[7],[9]displaystyle [7],[9]和[1]displaystyle [1]都表示Z/∼displaystyle mathbb Z /sim 的同一个元素。


• 
  有理数可以构造为整数的有序对 (a,b)displaystyle (a,b)的等价类的集合，bdisplaystyle b不能为零，这里的等价关系定义为

(a,b)∼(c,d)displaystyle (a,b)sim (c,d)当且仅当ad=bcdisplaystyle ad=bc。

这里的有序对 (a,b)displaystyle (a,b)的等价类可以被认同于有理数a/bdisplaystyle a/b。

• 任何函数f:X→Ydisplaystyle f:Xrightarrow Y定义在X上的等价关系，通过x1∼x2displaystyle x_1sim x_2 当且仅当f(x1)=f(x2)displaystyle f(x_1)=f(x_2)。xdisplaystyle x的等价类是在Xdisplaystyle X中被映射到f(x)displaystyle f(x)的所有元素的集合，就是说，类[x]displaystyle [x]是f(x)displaystyle f(x)的逆像。这个等价关系叫做fdisplaystyle f的核。


• 给定群Gdisplaystyle G和子群Hdisplaystyle H，我们可以定义在Gdisplaystyle G上的等价关系，通过x∼ydisplaystyle xsim y当且仅当xy−1∈Hdisplaystyle xy^-1in H。这个等价类叫做H在G中的右陪集；其中之一是Hdisplaystyle H自身。它们都有同样数目的元素（在无限Hdisplaystyle H的情况下是势）。如果Hdisplaystyle H是正规子群，则所有陪集的集合自身是在自然方式下的一个群。


• 所有群都可以划分成叫做共轭类的等价类。


• 
  连续映射fdisplaystyle f的同伦类是所有同伦于fdisplaystyle f的所有映射的等价类。


• 在自然语言处理中，等价类是对一个个人、位置、事物或事件的所有提及的要么真实要么虚构的集合。例如，在句子“"GE股东将投票公司杰出的CEO Jack Welch的继任者”。“GE”和“公司”是同义的，所以构成一个等价类。对“GE股东”和“Jack Welch”有单独的等价类。

性质

因为等价关系的adisplaystyle a在[a]displaystyle [a]中和任何两个等价类要么相等要么不相交的性质。得出X的所有等价类的集合形成Xdisplaystyle X的划分：所有Xdisplaystyle X的元素属于一且唯一的等价类。反过来，Xdisplaystyle X的所有划分也定义了在Xdisplaystyle X上等价关系。

它还得出等价关系的性质

a∼bdisplaystyle asim b当且仅当[a]=[b]displaystyle [a]=[b]。

如果∼displaystyle sim 是在Xdisplaystyle X上的等价关系，而P(x)displaystyle P(x)是xdisplaystyle x的元素的一个性质，使得只要x∼y,P(x)displaystyle xsim y,P(x)为真如果P(y)displaystyle P(y)为真，则性质Pdisplaystyle P被称为良好定义的或在关系∼displaystyle sim 下“类恒定”的。常见特殊情况出现在fdisplaystyle f是从Xdisplaystyle X到另一个集合Ydisplaystyle Y的时候；如果x1∼x2displaystyle x_1sim x_2蕴涵f(x1)=f(x2)displaystyle f(x_1)=f(x_2)则fdisplaystyle f被称为在∼displaystyle sim 下恒定的类，或简单称为在∼displaystyle sim 下恒定。这出现在有限群的特征理论中。对函数fdisplaystyle f的后者情况可以被表达为交换三角关系．参见不變量。

参见

• 等价关系