雷诺数
在流体力学中，雷诺数（Reynolds number）是流体的惯性力ρv2Ldisplaystyle frac rho v^2L
雷諾數較小時，黏滯力對流場的影響大於慣性力，流場中流速的擾動會因黏滯力而衰減，流體流動穩定，為層流；反之，若雷諾數較大時，慣性力對流場的影響大於黏滯力，流體流動較不穩定，流速的微小變化容易發展、增強，形成紊亂、不規則的紊流流場。
目录
1 定义
1.1 管内流场
1.2 平板流
1.3 流体中的物体
1.3.1 流体中的球
1.4 搅拌槽
2 过渡流雷诺数
3 管道中的摩擦阻力
4 流动相似性
5 雷诺数的推导
6 参见
7 參考文獻
定义
对于不同的流场，雷诺数可以有很多表达方式。这些表达方式一般都包括流体性质（密度、黏度）再加上流体速度和一个特征长度或者特征尺寸。这个尺寸一般是根据习惯定义的。比如说半径和直径对于球型和圆形并没有本质不同，但是习惯上只用其中一个。对于管内流动和在流场中的球体，通常使用直径作为特征尺寸。对于表面流动，通常使用长度。
管内流场
对于在管内的流动，雷诺数定义为：
- Re=ρVDμ=VDν=QDνAdisplaystyle mathrm Re =rho mathbf mathrm V D over mu =mathbf mathrm V D over nu =mathbf mathrm Q D over nu A
式中：
Vdisplaystyle mathbf mathrm V是平均流速（国际单位：m/s）
Ddisplaystyle D管直径（一般為特徵長度）(m)
μdisplaystyle mu流体动力黏度（Pa·s或N·s/m²）
νdisplaystyle nu运动黏度（ν=μ/displaystyle nu =mu /
ρ）(m²/s)
ρdisplaystyle rho流体密度（kg/m³）
Qdisplaystyle Q体积流量（m³/s）
Adisplaystyle A横截面积（m²）
假如雷諾數的體積流速固定，則雷諾數與密度（ρ）、速度的开方（udisplaystyle sqrt u
假如雷諾數的質量流速（即是可以穩定流動）固定，則雷諾數與管徑（Ｄ）、黏度（ｕ）成反比；與√速度（udisplaystyle sqrt u
平板流
对于在两个宽板(板宽远大于两板之间距离)之间的流动,特征长度为两倍的两板之间距离
流体中的物体
对于流体中的物体的雷诺数,经常用Rep表示。用雷诺数可以研究物体周围的流动情况，是否有漩涡分离，还可以研究沉降速度。
流体中的球
对于在流体中的球，特征长度就是这个球的直径，特征速度是这个球相对于远处流体的速度，密度和黏度都是流体的性质。在这种情况下，层流只存在于Re=10或者以下。
在小雷诺数情况下，力和运动速度的关系遵从斯托克斯定律。
球在流体中的雷诺数可以用下式计算，其中vfdisplaystyle v_f
Re=|vf−vs|dsρfμfdisplaystyle Re=frac mu _f
搅拌槽
对于一个圆柱形的搅拌槽，中间有一个旋转的桨或者涡轮，特征长度是这个旋转物体的直径。速度是ND,N是转速(周/秒)。雷诺数表达为:
- Re=ρND2μ.displaystyle mathrm Re =rho ND^2 over mu .
当Re>10,000时，这个系统为完全湍流状态。[2]
过渡流雷诺数
对于流过平板的边界层，实验可以确认，当流过一定长度后,层流变得不稳定形成湍流。对于不同的尺度和不同的流体，这种不稳定性都会发生。一般来说，当Rex≈5×105displaystyle mathrm Re _xapprox 5times 10^5
一般管道流雷诺数＜2100为层流(又可稱作黏滯流動、線流)状态，大于4000为湍流(又可稱作紊流、擾流)状态，2100～4000为过渡流状态。
層流：流體沿著管軸以平行方向流動，因為流體很平穩，所以可看作層層相疊，各層間不互相干擾。流體在管內速度分佈為拋物體的形狀，面向切面的則是拋物線分佈。因為是個別有其方向和速率流動，所以流動摩擦損失較小。
湍流：此則是管內流體流動狀態為各分子互相激烈碰撞，非直線流動而是漩渦狀，流動摩擦損失較大。
管道中的摩擦阻力
穆迪圖說明達西摩擦因子f和雷诺数和相對粗糙度的關係
在管道中完全成形（fully developed）流體的壓降可以用穆儲圖來說明，穆迪圖繪製出在不同相對粗糙度下，達西摩擦因子f和雷诺数Redisplaystyle mathrm Re 
流动相似性
两个流动如果相似的话，他们必须有相同的几何形状和相同的雷诺数和欧拉数。当在模型和真实的流动之间比较两个流体中相应的一点，如下关系式成立：
- Rem=Redisplaystyle mathrm Re _m=mathrm Re ;
- Eum=Eui.e.pmϱmvm2=pϱv2,displaystyle mathrm Eu _m=mathrm Eu ;quad quad mboxi.e.quad p_m over varrho _mv_m^2=p over varrho v^2;,
带m下标的表示模型里的量，其他的表示实际流动里的量。
这样工程师们就可以用缩小尺寸的水槽或者风洞来进行试验，与数值模拟的模型比对数据分析，节约试验成本和时间。实际应用中也许会需要其他的无量纲量与模型一致，比如说马赫数，福祿數。
雷诺数的一般值
精子~ 1×10−4
大脑中的血液流 ～1×102
主动脉中的血流~ 1×103
湍流临界值~ 2.3×103-5.0×104(对于管内流)到106(边界层)
棒球（职业棒球投手投掷）~2×105
游泳（人）~4×106
蓝鲸~ 3×108- 大型邮轮~ 5×109
雷诺数的推导
雷诺数可以从无量纲的非可压納維－斯托克斯方程推导得来:
- ρ(∂v∂t+v⋅∇v)=−∇p+μ∇2v+f.displaystyle rho left(frac partial mathbf v partial t+mathbf v cdot nabla mathbf v right)=-nabla p+mu nabla ^2mathbf v +mathbf f .
上式中每一项的单位都是加速度乘以密度。无量纲化上式，需要把方程变成一个独立于物理单位的方程。我们可以把上式乘以系数:
- DρV2displaystyle frac Drho V^2
这里的字母跟在雷诺数定义中使用的是一样的。我们设:
- v′=vV, p′=p1ρV2, f′=fDρV2, ∂∂t′=DV∂∂t, ∇′=D∇displaystyle mathbf v' =frac mathbf v V, p'=pfrac 1rho V^2, mathbf f' =mathbf f frac Drho V^2, frac partial partial t'=frac DVfrac partial partial t, nabla '=Dnabla
无量纲的纳维-斯托克斯方程可以写为:
- ∂v′∂t′+v′⋅∇′v′=−∇′p′+μρDV∇′2v′+f′displaystyle frac partial mathbf v' partial t'+mathbf v' cdot nabla 'mathbf v' =-nabla 'p'+frac mu rho DVnabla '^2mathbf v' +mathbf f'
这里:μρDV=1Re.displaystyle frac mu rho DV=frac 1mathit Re.
最后,为了阅读方便把撇去掉:
- ∂v∂t+v⋅∇v=−∇p+1Re∇2v+f.displaystyle frac partial mathbf v partial t+mathbf v cdot nabla mathbf v =-nabla p+frac 1mathit Renabla ^2mathbf v +mathbf f .
这就是为什么在数学上所有的具有相同雷诺数的流场是相似的。
参见
- 磁雷诺数
參考文獻
^ 董, 长银; 栾, 万里. 牛顿流体中的固体颗粒运动模型分析及应用 (PDF). 中国石油大学学报 (自然科学版 ). 2007, 31 (5): 55–63. doi:10.3321/j.issn:1000-5870.2007.05.012.
^ R. K. Sinnott Coulson & Richardson's Chemical Engineering, Volume 6: Chemical Engineering Design, 4th ed (Butterworth-Heinemann) ISBN 0-7506-6538-6 page 473
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